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整数のきちんとした定義

数学がらみの話ばっかり。

学校で「実数は有理数無理数に分けられる」ことを習いました。

そのとき、

「m、nを整数(ただしnは0でない)とするとき、

『n分のm』の形で表すことができる数を有理数という」

というふうに習った(気がする)。

一方、そう表せないのが無理数であると。

 

上のように考えるのならば、

そもそも「整数とは何か」がはっきりしなければ、

有理数無理数もはっきりしないということになるのでは?

と今頃になって思いつく。

 

それでは、学校で整数についてどう習うかというと、

「『1、2、3、4、5、…』という数、

それらにマイナスをつけた数、あと0。

これらをまとめて整数という」。こんな感じ。

なんだか定義の仕方がひどくいい加減な気がします。

「1、2、3、4、5、…」ってあんまりじゃないか。

 

もう少し気の利いた定義では、

「整数とは、0とそれに1ずつ加えていって得られる数、

及び1ずつ引いていって得られる数の総称である」となっていた。

さっきよりずいぶん高尚な気がします。

 

が、しかし。

なぜ0が無条件で整数なのか。

また、「1ずつ加える」なんてあっさり書いていいのか。

この辺のことはさっぱり分からないのです。

 

整数にはきちんとした定義がきっとあるのだろうと思って、

いろいろ見てみましたが、結局よく分からりませんでした。

「整数の定義はややこしいので割愛する」

という書きぶりの本もあるくらいなので、よほど厄介なのでしょう。

厳密な定義を知りたい半面、

きっと理解できないのだろうと既に諦めている私